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論數學在經濟學的應用

近年來高級數學常被應用於經濟學的教學與研究

近七十年來,數學在經濟學的應用顯然增加了。經濟學的鼻祖亞當史密斯在他的名著「國富論」並沒有用任何數學,其後著名的英國經濟學家阿爾弗馬歇爾在他的名著「經濟學理論」的附錄開始應用了微積分。到了1946年,英國著名經濟學家約翰希克斯在他的名著「價值與資本」也應用了微積分。1947年,美國著名經濟學家保羅薩繆爾森在他的名著「經濟學的基本理論」用了微積分和微分方程。

經濟學的基本理論包括消費者和生產者的行為,經濟學假定消費者的目的是尋求最高的效用和生產者的目的是尋求最高的利潤,微積分是用來尋求最高價值的數學方法,因此適用於經濟學。

1950年筆者在康乃爾大學唸三年級的時候,該校所有經濟學的課程都沒有用微積分或更高深的數學。筆者對數學有興趣,在康乃爾大學唸了微積分和微分方程。

1951-52年,筆者在芝加哥大學的研究院攻讀博士學位的時候,唸了線性代數,以後在經濟學的研究中,應用了微積分,微分方程,線性代數和數理統計。在1970年代,筆者研究經濟政策,包括利用經濟模型來描述經濟運作,同時用數學方法來求解最優的經濟政策。研究成果,請見筆者所著「動態經濟模型的分析與控制」,約翰威利出版社,1975年 (Analysis and Control of Dynamic Economic Systems. John Wiley, 1975)與「動態經濟學:用拉格朗日乘數求最優價值」,牛頓出版社出版,1997年(Dynamic Economics: Optimization by the Lagrange Method。Oxford University Press, 1997.)因為經濟學的理論可以用數學表達,今天的經濟學家常用數學。

經濟學的主要目的是解釋經濟現象,與其它的科學一樣,經濟學先對經濟現象作一個假設,以後用事實來把假設證明。如果假設與事實不符合,我們便把假設推翻,採用另一個假設。不被事實推翻的假設我們繼續採用,被採用多次而不被事實推翻的假設我們稱為理論,這種研究現象的方法便是科學方法。在邏輯裡有兩種方法,第一種是歸納,第二種是演繹,歸納是把多種事實歸納成為理論,演繹是把假設的含義推算出來。經濟學的假設常用數學方式表達,因此經濟學家需要用數學方法把假設的含義推算,這是數學在經濟學的主要應用。

經濟理論的優劣是以它能否解釋經濟現象來決定。如果兩個理論解釋現象的能力是相等,一般經濟學家會選擇其中一個比較簡單的經濟理論。假定我們要解析兩個經濟變數,我們考慮用兩個不同的經濟模型,一個需要用三個聯立方程,另一個只需要用兩個聯立方程。一般經濟學家會選擇只用兩個聯立方程的模型。因為選擇一個比較簡單的模型,用來比較間便。如果我們要解釋兩個經濟變數,但是用了一個解釋三個經濟變數的模型,便會多費精力。把一個複雜的經濟模型分析和演算比較把一個簡單的經濟模型分析和演算困難。

近年來經濟理論常用高深的數學表達。決定攻讀經濟學的研究生必需在進研究院以前唸過高深的數學。今天不少打算唸經濟學博士學位的本科生在唸大學時主修數學,這是攻讀經濟學博士學位的一個極好的準備。

我們談了近年來高級數學常被應用於經濟學的教學與研究,經濟學的發展方向是由經濟學家決定的。一般來說,一門學科的內容是由研究該學科的學者決定,如果經濟學家決定多用高深的數學,高深的數學便會被應用在經濟學的領域。經濟學家決定經濟學的論文應當應用多少和那種高深的數學。近年來他們決定多用高深數學,因此高深數學在經濟學常被應用。

今天經濟學家利用高等數學作經濟研究,研究的重要性是由經濟學界決定。近年來高等數學在經濟學的應用增加了,原因是經濟學界認為高等數學的應用有助於經濟學的研究。數學在經濟學的應用,那種數學被應用,如何應用是由經濟學家決定。總之,今天的經濟學家比從前的經濟學家多用高深的數學,原因是他們認為高深數學的應用能夠推進經濟學的發展。

研究經濟學的收益包括兩點:(1)瞭解經濟現象和(2)幫助制定良好的經濟政策,為國家與世界造福。

鄒至莊

美國普林斯頓大學經濟學榮譽教授